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Teorema de Pitágoras: a fórmula e como usar na prática

Vale só para o triângulo retângulo, e é o que permite descobrir uma medida impossível de medir a partir de duas que você consegue medir.

Geometria 7 min de leitura Um de 9 guias de Geometria
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Existe uma relação que vale para todo triângulo retângulo — aquele que tem um ângulo de 90° — e que não vale para nenhum outro. Ela liga os três lados numa igualdade simples e, por causa disso, permite descobrir uma medida que você não consegue medir a partir de duas que você consegue.

É o teorema de Pitágoras, provavelmente o resultado mais reaproveitado da matemática escolar: aparece em obra, em GPS, em tela de TV e em qualquer cálculo de distância.

A fórmula e os nomes

a² = b² + c², onde a é a hipotenusa — o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior — e b e c são os catetos, os dois lados que formam o ângulo de 90°.

Seis situações resolvidas

Toque em cada uma para ver a conta completa — inclusive as que não parecem geometria.

Toque em uma situação para ver o cálculo.

a² = 3² + 4²

Catetos 3 e 4

a² = 9 + 16 = 25, logo a = √25 = 5. Esse é o terno 3-4-5, o mais famoso de todos: qualquer triângulo com esses lados é retângulo, e pedreiros usam isso para conferir se um canto está no esquadro.

13² = 5² + b²

Hipotenusa 13, cateto 5

Quando falta um cateto, o teorema vira subtração: 169 = 25 + b² → b² = 144 → b = 12. Repare que o maior valor entra sempre sozinho do lado esquerdo, porque a hipotenusa é o maior lado.

Escada de 5 m a 3 m da parede

Problema clássico

A escada é a hipotenusa e a distância até a parede é um cateto. 5² = 3² + h² → 25 = 9 + h² → h² = 16 → h = 4 m de altura alcançada.

A diagonal da tela

Por que 50 polegadas

O tamanho anunciado de uma TV é a diagonal, que é a hipotenusa de um dos triângulos retângulos formados pela diagonal da tela. Uma tela de 40 por 30 polegadas tem diagonal √(1600 + 900) = √2500 = 50 polegadas.

Quadrado de lado 1

Um resultado que se repete

d² = 1² + 1² = 2, então d = √2, aproximadamente 1,41. A diagonal de qualquer quadrado é sempre o lado multiplicado por √2 — um exemplo clássico de número irracional.

Praça de 60 m por 80 m

Atravessar a praça

Contornar pela calçada dá 60 + 80 = 140 m. Cortar pela diagonal dá √(3600 + 6400) = √10000 = 100 m. A economia de 40 m explica por que sempre nasce uma trilha no gramado.

Os ternos pitagóricos

Alguns trios de números inteiros satisfazem o teorema exatamente, sem deixar raiz quebrada. Reconhecê-los poupa tempo em prova, porque a resposta sai sem calculadora — e qualquer múltiplo inteiro positivo deles também funciona.

3, 4 e 5
9 + 16 = 25. Os múltiplos valem igual: 6-8-10, 9-12-15, 30-40-50.
5, 12 e 13
25 + 144 = 169. Pode ser usado para reconhecer um ângulo reto sem calcular raízes.
8, 15 e 17
64 + 225 = 289. Também é formado por inteiros positivos que satisfazem a igualdade.

O teorema ao contrário

A relação também funciona como teste: se, num triângulo qualquer, o quadrado do maior lado for igual à soma dos quadrados dos outros dois, então aquele triângulo é retângulo. É a recíproca do teorema, e é ela que permite conferir se um canto de parede está no esquadro sem transferidor: mede-se 3 m numa direção, 4 m na outra, e a diagonal entre as marcas tem de dar exatamente 5 m.

O que Pitágoras tem a ver com números irracionais?

Num quadrado de lado 1, o teorema fornece uma diagonal igual a √2 — um número que não pode ser escrito como fração de dois inteiros. A incomensurabilidade dessa diagonal foi estudada na matemática grega antiga. A relação geométrica ajuda a entender por que precisamos de números irracionais, além das frações, para representar comprimentos. Para o cálculo em si, vale revisar a raiz quadrada e os tipos de ângulos.

Teste o que você aprendeu

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Escolha uma resposta e veja na hora se acertou. É para aprender — sem pressão.

  1. 1. Em que tipo de triângulo o teorema de Pitágoras vale?

    Por quê: A relação depende do ângulo reto. Sem ele, a soma dos quadrados dos dois lados menores não bate com o quadrado do maior.

  2. 2. Qual é a hipotenusa de um triângulo retângulo de catetos 6 e 8?

    Por quê: a² = 36 + 64 = 100, logo a = 10. É o terno 3-4-5 multiplicado por 2.

  3. 3. O que é a hipotenusa?

    Por quê: Ela fica de frente para o ângulo de 90° e é necessariamente o maior lado. Os outros dois, que formam o ângulo reto, são os catetos.

  4. 4. Uma escada de 10 m encostada a 6 m da parede alcança que altura?

    Por quê: A escada é a hipotenusa: 100 = 36 + h² → h² = 64 → h = 8 m.

  5. 5. Um triângulo de lados 5, 12 e 13 é retângulo?

    Por quê: Testando com o maior lado como hipotenusa: 5² + 12² = 169 e 13² = 169. A igualdade confirma o ângulo reto — é a recíproca do teorema.

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Perguntas frequentes

Qual é a fórmula do teorema de Pitágoras?
O quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Com catetos 3 e 4, a hipotenusa é 5, porque 9 + 16 = 25.
Em que triângulos o teorema vale?
Apenas no triângulo retângulo, aquele que tem um ângulo de 90 graus. Sem o ângulo reto, a relação não se sustenta.
Qual é a diferença entre hipotenusa e cateto?
A hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e é sempre o maior lado. Os catetos são os dois lados que formam o ângulo de 90 graus.
O que são ternos pitagóricos?
São trios de números inteiros que satisfazem o teorema exatamente, como 3-4-5, 5-12-13 e 8-15-17. Qualquer múltiplo deles também funciona, como 6-8-10.
Onde o teorema é usado fora da escola?
Na construção, para conferir se um canto está no esquadro; na medida da diagonal de telas e terrenos; e em qualquer cálculo de distância em linha reta, inclusive em GPS.

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