Equação do 2º grau: fórmula de Bhaskara passo a passo

Uma equação do 2º grau pode ter duas raízes reais distintas, uma raiz dupla ou nenhuma raiz real. O delta avisa qual é o caso antes de você terminar a conta.

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Uma equação polinomial em x é do 2º grau quando, depois de simplificada, seu maior expoente é 2. Enquanto a equação do 1º grau tem uma solução, a de 2º grau pode ter duas, uma ou nenhuma raiz real — e existe um número que avisa qual dos três casos você tem em mãos antes de terminar a conta.

Sua forma geral é ax² + bx + c = 0, com a ≠ 0. Os números a, b e c são os coeficientes; b ou c podem ser zero. Ela aparece em área de terreno, trajetória de bola, lucro máximo e queda de objetos: sempre que uma grandeza depende do quadrado de outra.

A fórmula, em duas etapas

Primeiro o discriminante: Δ = b² − 4ac. Depois as raízes: x = (−b ± √Δ) ÷ (2a). Calcular o Δ antes economiza trabalho — se ele for negativo, não há raízes reais.

O que o delta informa

O discriminante recebe esse nome porque discrimina, ou seja, distingue os três casos possíveis antes de qualquer outra conta.

Δ maior que 0: Duas raízes reais e diferentes. No gráfico, a parábola corta o eixo x em dois pontos.
Δ igual a 0: Uma raiz real, chamada de raiz dupla. A parábola apenas encosta no eixo x, num ponto só.
Δ menor que 0: Nenhuma raiz real. A parábola passa inteira acima ou inteira abaixo do eixo x, sem tocá-lo.

Seis equações resolvidas

Toque em cada caso para ver a conta completa, do delta às raízes.

Toque em um caso para ver a resolução passo a passo.

x² − 5x + 6 = 0

Duas raízes diferentes

Coeficientes: a = 1, b = −5, c = 6. Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1. Como Δ é positivo, há duas raízes: x = (5 ± 1) ÷ 2, ou seja, x = 3 e x = 2.

x² − 6x + 9 = 0

Uma raiz só

a = 1, b = −6, c = 9. Δ = 36 − 36 = 0. Com Δ zero, o ± deixa de fazer diferença e sobra uma única raiz: x = 6 ÷ 2 = 3. Diz-se que a equação tem raiz dupla.

x² + 2x + 5 = 0

Nenhuma raiz real

a = 1, b = 2, c = 5. Δ = 4 − 20 = −16. Não existe número real cujo quadrado seja negativo, então a equação não tem solução nos reais — e a parábola não toca o eixo x.

2x² − 8x = 0

Equação incompleta

Quando falta o termo independente, não precisa de Bhaskara: coloque o x em evidência. 2x(x − 4) = 0, logo x = 0 ou x = 4. Uma das raízes é sempre zero nesse caso.

3x² − 27 = 0

Equação incompleta

Faltando o termo em x, isole o x² e tire a raiz: 3x² = 27 → x² = 9 → x = ±3. Não esqueça o sinal negativo: são duas respostas, não uma.

x² − 7x + 10 = 0

O atalho

A soma das raízes é −b/a = 7 e o produto é c/a = 10. Procure dois números que somem 7 e multipliquem 10: são 5 e 2. Funciona bem quando as raízes são inteiras e pequenas.

O passo a passo que não falha

Deixe a equação na forma ax² + bx + c = 0, com tudo de um lado só e zero do outro.
Anote a, b e c com os sinais. É aqui que mora a maior parte dos erros.
Calcule Δ = b² − 4ac e olhe o sinal do resultado.
Se Δ ≥ 0, aplique x = (−b ± √Δ) ÷ (2a), uma vez com + e outra com −.
Confira: a soma das raízes tem de dar −b/a e o produto, c/a.

Por que “Bhaskara” é um nome discutido?

Bhaskara II foi um matemático indiano do século 12 que registrou métodos para resolver equações desse tipo — mas o procedimento já era conhecido por babilônios, gregos e árabes muito antes dele, e a fórmula na forma que usamos hoje só ganhou notação algébrica moderna séculos depois, na Europa. O nome “fórmula de Bhaskara” é praticamente exclusivo do Brasil: em livros de outros países ela aparece como quadratic formula, sem atribuição a uma pessoa. Isso não muda nada na conta — só evita a impressão de que alguém inventou aquilo sozinho num dia.

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1. Qual é a forma geral de uma equação do 2º grau?

Por quê: O que a torna de 2º grau é o termo x². Se a fosse zero, o termo x² sumiria. Só haveria uma equação do 1º grau se b fosse diferente de zero.
2. Em 2x² − 3x + 1 = 0, quais são os coeficientes?

Por quê: O sinal faz parte do coeficiente: o b é −3, e não 3. Trocar esse sinal é o erro mais frequente no cálculo do delta.
3. O que significa um delta negativo?

Por quê: Seria preciso extrair a raiz quadrada de um número negativo, o que não existe entre os reais. Graficamente, a parábola não cruza o eixo x.
4. Quais são as raízes de x² − 7x + 12 = 0?

Por quê: Δ = 49 − 48 = 1. Então x = (7 ± 1) ÷ 2, resultando em 4 e 3. Confira: 3 + 4 = 7 e 3 × 4 = 12.
5. Como resolver 5x² − 20 = 0 do jeito mais rápido?

Por quê: 5x² = 20 → x² = 4 → x = ±2. Bhaskara também funcionaria, mas é caminho longo para uma equação incompleta.

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Inequação do 1º grau: como descobrir todos os valores possíveis de x

Perguntas frequentes

O que é uma equação do 2º grau?

É toda equação que pode ser escrita como ax² + bx + c = 0, com a diferente de zero. O que a define é a presença do termo elevado ao quadrado.

Como se calcula o delta?

Delta é igual a b² − 4ac. Ele é chamado de discriminante porque distingue os três casos possíveis antes mesmo de encontrar as raízes.

O que significa cada valor de delta?

Delta positivo indica duas raízes reais diferentes; delta igual a zero indica uma única raiz, chamada de raiz dupla; e delta negativo indica que não há raízes reais.

Como resolver uma equação do 2º grau incompleta?

Sem o termo independente, coloque o x em evidência: 2x² − 8x = 0 vira 2x(x − 4) = 0, com raízes 0 e 4. Sem o termo em x, isole o x² e extraia a raiz, lembrando dos dois sinais.

Como conferir se as raízes estão certas?

A soma das raízes precisa dar −b/a e o produto precisa dar c/a. Em x² − 5x + 6 = 0, as raízes 2 e 3 somam 5 e multiplicam 6.

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