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Potenciação: base, expoente e as regras das potências

Potência é multiplicação repetida: 2 elevado a 5 é 32, e não 10. Veja as condições de uso das propriedades e por que expoente negativo não deixa o número negativo.

Matemática 7 min de leitura Um de 20 guias de Matemática
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Com expoente inteiro positivo, potenciação representa uma multiplicação de fatores iguais. Em vez de escrever 2 × 2 × 2 × 2 × 2, escreve-se 2⁵. O ganho não é só de espaço: sem essa notação seria impossível trabalhar com os números muito grandes da astronomia ou muito pequenos da química.

O erro mais comum do assunto é confundir 2⁵ com 2 × 5. Um dá 32; o outro, 10.

Como ler uma potência

Em 2⁵, o número de baixo é a base — o que se repete — e o de cima é o expoente, que diz quantas vezes a base aparece na multiplicação. Lê-se “dois elevado à quinta potência”. Com expoente 2, diz-se “ao quadrado”; com expoente 3, “ao cubo”.

As seis propriedades

Aqui usamos expoentes inteiros. As divisões e os expoentes zero ou negativos exigem base diferente de zero. Cada regra tem um motivo, e entender o motivo evita aplicá-la no lugar errado. Toque em cada propriedade para ver a explicação.

Toque em uma propriedade para ver a regra e o porquê dela.

aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

Some os expoentes

Exemplo: 2³ × 2² = 2⁵ = 32. Faz sentido porque 2³ é 2×2×2 e 2² é 2×2 — juntando tudo, são cinco fatores 2. A regra só vale quando a base é a mesma.

aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (a ≠ 0)

Subtraia os expoentes

Exemplo: 5⁴ ÷ 5² = 5² = 25. Dos quatro fatores 5 de cima, dois são cancelados pelos dois de baixo, e sobram dois.

(aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ

Multiplique os expoentes

Exemplo: (3²)³ = 3⁶ = 729. É 3² repetido três vezes: 9 × 9 × 9. Cuidado para não confundir com 3² × 3³, em que os expoentes se somam.

a⁰ = 1 (com a ≠ 0)

O resultado é sempre 1

Exemplo: 7⁰ = 1, e 1.000.000⁰ também é 1. O motivo aparece na divisão: 5³ ÷ 5³ é 1, porque todo número não nulo dividido por si mesmo dá 1 — e pela regra dos expoentes seria 5⁰.

a⁻ⁿ = 1/aⁿ (a ≠ 0)

Inverta a fração

Exemplo: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8. O sinal negativo no expoente não deixa o resultado negativo: ele indica inversão. 2⁻³ vale 0,125, que é positivo.

10ⁿ = 1 seguido de n zeros (n inteiro ≥ 0)

Conte os zeros

Exemplo: 10⁴ = 10.000, com quatro zeros. É a base da notação científica: 3.000.000 vira 3 × 10⁶, e 0,00025 vira 2,5 × 10⁻⁴.

Três armadilhas de sinal

Sinal negativo em potência confunde mais do que expoente grande. Repare na diferença entre os três casos:

(−2)⁴ = 16
O parêntese inclui o sinal na base. Expoente par: os negativos se cancelam aos pares e o resultado fica positivo.
(−2)³ = −8
Mesma base negativa, mas expoente ímpar: sobra um sinal sem par, e o resultado é negativo.
−2⁴ = −16
Sem parêntese, a base é apenas o 2. Calcula-se 2⁴ = 16 e só depois aplica-se o sinal de menos que estava na frente.

Para que isso serve fora da prova

A distância da Terra ao Sol é cerca de 1,5 × 10⁸ km; um vírus mede algo como 1 × 10⁻⁷ m; um arquivo de 1 GB tem 10⁹ bytes, enquanto 1 GiB corresponde a 2³⁰ bytes. Em todos esses casos, escrever o número por extenso seria impraticável. Potência também é o que mede crescimento acelerado — juros compostos, população, capacidade de armazenamento — porque cada passo multiplica o anterior em vez de somar a ele.

Qual a relação entre potenciação e raiz quadrada?

Para números não negativos, são operações inversas. Elevar ao quadrado responde “quanto dá 5 × 5?”, e a raiz quadrada responde à pergunta contrária: “que número multiplicado por si mesmo dá 25?”. Por isso √25 = 5 e 5² = 25 se correspondem. O símbolo √ indica a raiz não negativa: √((−5)²) = 5, e não −5. Em geral, √(a²) = |a|. A ideia se estende: a raiz cúbica desfaz o cubo, e assim por diante. Essa dupla reaparece inteira na equação do 2º grau, onde é preciso elevar ao quadrado e extrair raiz na mesma conta.

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  1. 1. Quanto vale 2⁵?

    Por quê: 2⁵ é 2 multiplicado por ele mesmo cinco vezes: 2×2×2×2×2 = 32. Não confunda com 2 × 5, que dá 10.

  2. 2. Quanto vale 3² × 3⁴?

    Por quê: Mesma base multiplicando: somam-se os expoentes. 2 + 4 = 6, então o resultado é 3⁶ = 729. A base nunca muda.

  3. 3. Quanto vale 8⁰?

    Por quê: Qualquer número diferente de zero elevado a zero dá 1 — inclusive 8, 1.000 ou 0,5.

  4. 4. Quanto vale 5⁻²?

    Por quê: Expoente negativo significa inverter: 5⁻² = 1/5² = 1/25 = 0,04. O resultado continua positivo.

  5. 5. Como se escreve 4.500.000 em notação científica?

    Por quê: Na notação científica, o primeiro número é maior ou igual a 1 e menor que 10. Deslocando a vírgula seis casas, chega-se a 4,5 × 10⁶.

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Perguntas frequentes

O que é potenciação?
É a multiplicação de um número por ele mesmo várias vezes. Em 2 elevado a 5, o 2 é a base, o 5 é o expoente e o resultado é 32.
Quais são as propriedades das potências?
Multiplicando potências de mesma base, somam-se os expoentes; dividindo, subtraem-se; numa potência de potência, multiplicam-se. Na divisão, a base deve ser não nula; expoentes zero e negativos também exigem base diferente de zero.
Por que qualquer número elevado a zero dá 1?
Porque um número dividido por ele mesmo dá 1, e pela regra da divisão de potências essa conta resulta em expoente zero. Vale para qualquer base diferente de zero.
Expoente negativo deixa o resultado negativo?
Não. O sinal negativo no expoente indica inversão, não troca de sinal: 2 elevado a −3 é igual a 1 dividido por 8, ou seja, 0,125, que é positivo.
O que é notação científica?
É a escrita de números muito grandes ou muito pequenos como um coeficiente cujo valor absoluto é maior ou igual a 1 e menor que 10, multiplicado por uma potência de 10. Assim, 4.500.000 vira 4,5 × 10 elevado a 6.

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